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Fußball, Riemann und die Differentialgeometrie – ein Forschungsbericht

Stift und Papier – dies sind die wichtigsten Arbeitsutensilien in meiner Forschung. „Mathe to go“ würde man neudeutsch wohl dazu sagen. Und tatsächlich kann ich überall arbeiten, sei es im Zug (in dem mich ein Herr mal auf meine Rechnungen hin ansprach und stolz von seinen Kenntnissen in Linearer Algebra berichtete), auf einer Parkbank mitten in der Stadt (was bei zwei Mädchen zu großer Enttäuschung führte, als sie erkannten, dass ich kein Maler bin) oder im Urlaub (in der Abgeschiedenheit ohne Internet habe ich kürzlich innerhalb von zwei Wochen mehr Fortschritt in meiner Forschung erzielt als in den zwei Monaten im Büro zuvor).

In der diskreten komplexen Analysis entwickle ich vor allem neue Konzepte, die es erlauben, weitere Analogien zur klassischen Theorie finden zu können. Ein Quad-Graph ist schnell aufgemalt, die komplexe Analysis sagt mir, welches Objekt oder welches Resultat ich gerne auch in der diskreten Theorie hätte, und nun muss ich nur noch überlegen, welche Definition beziehungsweise welche Formel am geeignetsten ist. Der schwierigste Schritt ist, Ideen für mögliche Definitionen und Formeln zu finden. Meist kommen mir die richtigen Ideen gar nicht, wenn ich direkt vor meinen Notizen sitze, sondern oft unerwartet während Vorträgen, beim Spazierengehen, und einige Male sogar beim Aufstehen. Im nächsten Schritt prüfe ich dann, ob mein diskretes Objekt ähnliche Eigenschaften aufweist wie in der klassischen Theorie. Dazu stelle ich Hypothesen auf, rechne per Hand nach, ob das rauskommt, was ich erwarte, und ändere gegebenenfalls die Definition oder die Formel. Ein Patentrezept gibt es dafür nicht, oft verlasse ich mich auf mein Gefühl. Wenn ich schließlich überzeugt bin, gilt es, meinen Promotionsbetreuer und Kollegen in persönlichen Gesprächen von meinen Ideen zu überzeugen. So erfahre ich natürlich auch von ihren Ideen und Verbesserungsvorschlägen, die ich in meine Ergebnisse einarbeite. Im letzten Schritt schreibe ich meine Ergebnisse nieder, erarbeite zusammen mit meinem Promotionsbetreuer Artikel, die in Fachzeitschriften veröffentlicht werden sollen, und stelle meine Resultate auf Konferenzen und in Seminaren vor.

In meiner Lehrtätigkeit konnte ich auch Studenten Einblicke in meine Forschung geben, als mein Promotionsbetreuer eine Vorlesung zu klassischen und diskreten Riemannschen Flächen anbot. Ebenso finde ich Spaß daran, an Science Slams teilzunehmen. Hier geht es darum, innerhalb von 5 bis 10 Minuten sein Forschungsthema auf unterhaltsame Weise einer breiteren Öffentlichkeit vorzustellen. Dazu gekommen bin ich übrigens auf einer Sommerakademie der Studienstiftung: Auf dem 1. Salemer Science Slam präsentierte ich das Thema meiner Diplomarbeit, kompakte homogene Lorentz-Mannigfaltigkeiten, und war von der offenen und interessierten Atmosphäre im Schlosshof überwältigt.

Die diskrete Differentialgeometrie ist ein sehr aktuelles und noch junges Teilgebiet der Mathematik. Ihr Ziel ist es, die Notationen und Methoden der Differentialgeometrie, welche ihre Ursprünge in der Untersuchung von (glatten) Kurven und Flächen im Raum hat, geeignet zu diskretisieren, das heißt auf Objekte aus „wenigen“ Elementen wie zum Beispiel Polyeder (Tetraeder, Würfel, Fußball) zu übertragen. Die Motivation hierzu kommt nicht nur aus der Mathematik selbst, sondern hat auch Anwendungen in der Physik (Statistische Mechanik, mit der unter anderem Phasenübergänge wie zwischen Eis und flüssigem Wasser beschrieben werden), in der Architektur (Stahl-Glas-Konstruktionen wie bei der Kuppel des Reichstages, Freiform-Architektur wie beim Dach des Münchner Olympiastadions) und in der Computergraphik (an Fortschritten in der Bildgebung ist man unter anderem in der Medizin interessiert). Welche Diskretisierung man genau wählt, muss dabei nicht unbedingt eindeutig gegeben sein. Wichtig ist aber, dass man nicht nur die Gleichungen diskretisiert, sondern auch die grundlegende Theorie im Diskreten wiederfindet.

Ein Beispiel ist die Diskretisierung der Gauß-Krümmung. Die Gauß-Krümmung einer Kugel an einem Punkt ist durch den Kehrwert des Radius zum Quadrat gegeben. Somit sind lokal kleine Kugeln stark gekrümmt, große Kugeln wie die Erde dagegen nur wenig. Und tatsächlich bekommt man von der Krümmung der Erde im Alltag gar nicht viel mit. Schauen wir uns nun einen „klassischen“ Fußball an, also einen, der aus schwarzen Fünf- und weißen Sechsecken zusammengenäht ist (eine interessante Information zum Fußball am Rande: unter Polyedern vergleichbarer Rundung, das heißt einem Verhältnis von In- zu Umkugelradius von circa 0,9, weist der Fußball die geringste Anzahl an Nähten auf – dies vereinfacht die Fertigung von Fußbällen). Da die Seitenflächen flach sind und wir zwei benachbarte Seiten an einer Naht einfach aufklappen können, muss eine diskrete Gauß-Krümmung in den Ecken konzentriert sein. Die Innenwinkelsumme an einem Eckpunkt beträgt 348°, die Differenz von 12° (oder auch π/15) zu dem gewohnten 360°-Rundumblick entspricht gerade Krümmung. Mit dieser Definition erhält man im Grenzwert mit immer mehr Eckpunkten genau die Gauß-Krümmungen von glatten Flächen. Zusätzlich gilt sowohl im glatten als auch im diskreten Fall der Satz von Gauß-Bonnet. Dieser besagt, dass die Gesamtkrümmung (Summe aller Punktkrümmungen) von allen geschlossenen Flächen ohne „Löcher“, wie zum Beispiel Kugeln, Fußbällen, Würfeln, Gurken, Bananen (aber keine Donuts oder Brezel), stets gleich 720° beziehungsweise 4π ist.

In meiner Dissertation mit dem Arbeitstitel "Discrete Riemann Surfaces and Integrable Systems" betrachte ich Diskretisierungen von Flächen, die dadurch entstehen, dass die Flächen in Vierecke zerlegt sind. Die zugrundeliegende diskrete Struktur wird dann Quad-Graph genannt. In der komplexen Analysis sind die Flächen noch mit einer zusätzlichen (komplexen) Struktur versehen, die es ermöglicht, holomorphe Abbildungen zu betrachten. In der klassischen Theorie entsprechen holomorphe Abbildungen zwischen zwei zweidimensionalen, sogenannten Riemannschen Flächen, winkeltreuen Abbildungen. Diese sind gerade in der klassischen Differentialgeometrie und der mathematischen Physik von großem Interesse. Ein Beispiel für holomorphe Abbildungen sind Landkarten: Diese bilden in der Regel die Erdoberfläche winkeltreu ab, entsprechen in der Mathematik also einer holomorphen Abbildung von einem Teil der Riemann-Sphäre (der Erde) in die komplexe Ebene (einer Seite im Atlas). Durch die Winkeltreue bleiben geometrische Formen im Kleinen unverzerrt, was zum Beispiel für das Graphikdesign relevant ist.

Für den Fall, dass der zugehörige Quad-Graph nur aus Rhomben besteht, sind in den letzten Jahren diverse Resultate erzielt worden. Möglichst viel dieser Theorie übertrage ich nun auf allgemeinere Quad-Graphen, darunter die Definitionen von Ableitungen und vom Laplace-Operator. Vor allem aber interessieren mich Analoga zu wichtigen Theoremen aus der klassischen Theorie wie den Sätzen von Morera und Liouville, Cauchy-Formeln für diskrete holomorphe Funktionen und ihre Ableitungen, sowie dem Riemann-Roch-Theorem.

Felix Günther, Mathematik, Technische Universität Berlin. Forschungsbericht zum aktuellen Promotionsvorhaben "Discrete Riemann Surfaces and Integrable Systems".