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Arbeitsgruppe

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Elliptische Kurven und die Vermutung von Birch und

Swinnerton-Dyer

Elliptische Kurven sind fundamentale Objekte der reinen Mathematik, die Algebra, Funktio-

nentheorie, Geometrie, Topologie und Zahlentheorie miteinander verbinden. Diese Kurven

werden seit dem 19. Jahrhundert intensiv studiert und finden seit den 1980er Jahren Ver-

wendung in der Kryptografie. Auch im Zusammenhang mit der Fermat-Vermutung machten

elliptische Kurven von sich Reden: Nach Resultaten von Frey, Ribet und Serre impliziert die

Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung, bei der es um Modularität elliptischer Kurven geht, die

Fermat-Vermutung, und auf diesem Weg hat Wiles letztere 1994 bewiesen.

Eine weitere Vermutung, basierend auf Computerdaten und -experimenten in den 1960er

Jahren, geht auf Birch und Swinnerton-Dyer zurück und stellt einen Zusammenhang zwi-

schen der L-Reihe einer elliptischen Kurve über den rationalen Zahlen und diversen arith-

metischen Invarianten dieser Kurve her. Diese Vermutung ist eines der sieben Clay-Millen-

niumsprobleme und gilt als eine der wichtigsten, tief liegendsten und richtungsweisendsten

Vermutungen für die Mathematik des 21. Jahrhunderts. Sie ist momentan noch weitgehend

offen. Nach einem aus dem Jahr 2010 stammenden Resultat von Bhargava, der unter ande-

rem dafür 2015 die Fields-Medaille erhielt, stimmt sie allerdings für mehr als die Hälfte aller

elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen.

In dieser Arbeitsgruppe wollen wir uns die Theorie der elliptischen Kurven erarbeiten und

einen Schwerpunkt auf die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer legen. Vorausgesetzt

werden Grundkenntnisse in Algebra und Zahlentheorie. Kenntnisse in kommutativer Algebra

oder algebraischer Geometrie wären sehr hilfreich, werden aber nicht verlangt.

Prof. Dr. Christian Liedtke

Zentrum Mathematik, TU München

Prof. Dr. Thomas Geisser

Department of Mathematics, Rikkyo University / Japan

Studierende der Mathematik

Akademien

Akademie St. Johann im Ahrntal

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